Adam Kokoszka urodził się 6 października 1986 roku w Andrychowie. Pierwsze futbolowe kroki stawiał w lokalnym Beskidzie. W wieku 17 lat zwrócił na siebie uwagę włodarzy Wisły Kraków, którzy sprowadzili młodego zawodnika do stolicy Małopolski. Przez pierwsze dwa sezony występował w rezerwach Białej Gwiazdy. W 2005 roku został przesunięty do pierwszej drużyny, jednak jedynie okupował ławkę rezerwowych. Od ówczesnego trenera - Dana Petrescu - dostał szansę dopiero 4 sierpnia 2006 podczas spotkania z  Arką Gdynia. W wiślackich barwach rozegrał zaledwie 21 spotkań, zdobywając jedną bramkę w meczu z Koroną Kielce. W 2008 roku wywalczył również z Wisłą mistrzostwo Polski.